Parece ser mais uma questão prosódica. Repara:
a) Por quê não levar este?
b) Por que não levar este?
(Em Portugal, escreve-se geralmente junto: Porquê não…?, Porque não…?)
A primeira frase lês com uma pausa após quê, a segunda sem essa pausa. O significado também difere um pouco. Com quê, a interpretação favorecida é pedir-se uma justificação para não levar qualquer coisa, enquanto com que tenderá a ser lido mais como uma sugestão.
Curiosamente, como aponta Carlos Rocha no Ciberdúvidas, mas sem apontar explicação, o comportamento de que / o que é distinto:
(1) Queres fazer o quê?
(2) Que/O que/*O quê queres fazer?
Infelizmente, também não consegui encontrar nada de muito substancial sobre o assunto. Por exemplo, na gramática de Maria Mateus (6.ª ed., 2003), parece apenas uma nota de rodapé no capítulo sobre elipse da autoria de Gabriela Mateus (p. 905):
Em Truncamento [sluicing] o constituinte elíptico é introduzido por um sintagma interrogativo:
(66) (...) (e) A: Trouxe um presente para a Maria.
B: Pode saber-se o quê [SFLEX -]
[SFLEX -] = trouxeste para a Maria
[nota de rodapé: Repare-se que a forma tónica o quê só surge quando o constituinte frásico está omitido, como no exemplo dado, ou quando este consituinte interrogado se encontra na posição básica, sem ter sido movido, como em (i):
(i) Trouxeste o quê para a Maria.]
A Gramática do Português da Gulbenkian tem uma nota ainda mais breve também a propósito do sluicing (aqui denominado de elipse parcial da oração interrogativa, p. 2374) e escrito pela mesma autora, Gabriela Mateus:
43 Repare-se que não há uma coincidência formal entre a forma tónica do constituinte interrogativo o quê que ocorre na oração hospedeira do exemplo [Pode saber-se o̲ ̲q̲u̲ê̲ trouxeste para a Maria?] e a forma átona que ocorre na oração correspondente sem elipse [...]. Esta alternância deve-se a fatores fonológicos.
Portanto, “fatores fonológicos”; mas não encontro nada mais detalhado.
Vendo estas frases, parece também fazer alguma diferença o infinitivo ter desinências:
- A questão que resta é: por quê/*que irmos nós e não eles?
- A questão que resta é: por quê/?que escolher este e não aquele?
- Não temos/há com quê/que lavarmos as mãos.
- Não temos/há com quê/que lavar as mãos.
As 3. e 4., não sei bem que dizer delas, à parte de que a opção que prefiro é Não temos/há com que lavar as mãos.